Метод и разбор

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6. а) Докажите, что диагональ AC₁ перпендикулярна плоскости A₁BD. б) Найдите расстояние от вершины C₁ до плоскости A₁BD. Как устроены баллы. №14 даёт 3 балла. Пункт «а» — доказательство (часто 1 балл), пункт «б» — вычисление (2 балла). Доказательство нужно проводить строго, со ссылками на признаки; вычисление можно выполнять любым корректным способом — синтетическим или координатным. Почему здесь выбираем координаты. Для куба координатный метод даёт короткое и проверяемое доказательство: достаточно ввести оси по трём рёбрам, выписать координаты вершин, а перпендикулярность проверить скалярным произведением. Это безопаснее, чем держать в голове сложную пространственную конфигурацию. ЧАСТЬ а) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (координатный способ). Введём систему координат с началом в A: A(0;0;0), B(6;0;0), D(0;6;0), A₁(0;0;6), C₁(6;6;6). Направляющий вектор диагонали: AC₁ = (6; 6; 6), коллинеарен (1; 1; 1). Два вектора плоскости A₁BD: A₁B = B − A₁ = (6; 0; −6) и A₁D = D − A₁ = (0; 6; −6). Проверяем перпендикулярность AC₁ к каждому из них через скалярное произведение: AC₁ · A₁B = 6·6 + 6·0 + 6·(−6) = 36 + 0 − 36 = 0; AC₁ · A₁D = 6·0 + 6·6 + 6·(−6) = 0 + 36 − 36 = 0. Векторы A₁B и A₁D задают две пересекающиеся прямые плоскости A₁BD. Вектор AC₁ перпендикулярен обеим этим прямым, значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости AC₁ ⟂ (A₁BD). Доказано. ЧАСТЬ б) ВЫЧИСЛЕНИЕ расстояния от C₁ до плоскости A₁BD. Уравнение плоскости. Нормаль к плоскости — это как раз вектор AC₁, точнее n = (1; 1; 1). Плоскость проходит через A₁(0;0;6): 1·(x − 0) + 1·(y − 0) + 1·(z − 6) = 0, то есть x + y + z − 6 = 0. Расстояние от точки C₁(6;6;6) до плоскости по формуле: d = |x₀ + y₀ + z₀ − 6| / √(1² + 1² + 1²) = |6 + 6 + 6 − 6| / √3 = 12 / √3 = 12√3 / 3 = 4√3. ОТВЕТ. б) расстояние равно 4√3. ЛОГИКА И ЛОВУШКИ. — Координатный метод в №14 почти всегда работает для куба и прямоугольного параллелепипеда: вводим оси по рёбрам, выписываем координаты вершин и считаем. — Перпендикулярность прямой и плоскости доказывается через перпендикулярность ДВУМ пересекающимся прямым плоскости — одной мало. — Для расстояния от точки до плоскости нужна нормаль плоскости и её уравнение Ax + By + Cz + D = 0; формула d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). — Частая ошибка: брать прямые плоскости НЕ пересекающимися (например, две параллельные) — тогда признак не работает. — Не забывайте сократить и вынести корень: 12/√3 = 4√3, а не оставлять «12 на корень из 3».

Как вводить координаты: — куб/прямоугольный параллелепипед: оси вдоль трёх рёбер из одной вершины; координаты вершин читаются сразу; — правильная призма: основание в плоскости z = 0, ось OZ вверх; — пирамида: основание в плоскости z = 0, вершину проецируем на основание. Векторы и их применение: — вектор по двум точкам: AB = (x_B − x_A; y_B − y_A; z_B − z_A); — скалярное произведение: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃; если a·b = 0, то a ⟂ b; — нормаль к плоскости через две прямые плоскости — векторное произведение n = [u × w]. Ключевые формулы: — уравнение плоскости через точку M₀ и нормаль n = (A;B;C): A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0; — расстояние от точки до плоскости: d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²); — угол между прямой (направляющий вектор u) и плоскостью (нормаль n): sin φ = |u·n| / (|u|·|n|); — угол между плоскостями: косинус равен |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|). Геометрические признаки (для пункта «а»): — прямая ⟂ плоскости, если она ⟂ двум пересекающимся прямым этой плоскости; — если прямая ⟂ плоскости, то она ⟂ любой прямой этой плоскости; — теорема о трёх перпендикулярах — для доказательства перпендикулярности наклонной и прямой в плоскости.