← ЕГЭ по математике — профильный уровень
Lesson
Касательная, скорость и исследование функции по графику производной
Применять геометрический смысл производной (угловой коэффициент касательной) и физический смысл (скорость), читать график функции или её производной для поиска экстремумов и промежутков монотонности.
Метод и образцовый пример
Смысл производной
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. Значение производной f′(x₀) равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀. Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀). Если касательная параллельна прямой y = kx + b, то f′(x₀) = k.
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. Если x(t) — координата (закон движения), то скорость v(t) = x′(t), а ускорение a(t) = v′(t).
ИССЛЕДОВАНИЕ ПО ГРАФИКУ ПРОИЗВОДНОЙ. Там, где f′(x) > 0, функция возрастает; где f′(x) < 0 — убывает. В точках, где f′ меняет знак с + на −, функция имеет максимум; с − на + — минимум.
ОБРАЗЦОВЫЙ ПРИМЕР.
Материальная точка движется по закону x(t) = t² − 4t + 5 (x в метрах, t в секундах). Найдите её скорость в момент t = 3 с.
Решение. Скорость — производная координаты: v(t) = x′(t) = 2t − 4. Подставим t = 3: v(3) = 2·3 − 4 = 2 (м/с).
Ответ: 2.
Lesson notes
Смысл производной
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. Значение производной f′(x₀) равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀. Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀). Если касательная параллельна прямой y = kx + b, то f′(x₀) = k.
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. Если x(t) — координата (закон движения), то скорость v(t) = x′(t), а ускорение a(t) = v′(t).
ИССЛЕДОВАНИЕ ПО ГРАФИКУ ПРОИЗВОДНОЙ. Там, где f′(x) > 0, функция возрастает; где f′(x) < 0 — убывает. В точках, где f′ меняет знак с + на −, функция имеет максимум; с − на + — минимум.
ОБРАЗЦОВЫЙ ПРИМЕР.
Материальная точка движется по закону x(t) = t² − 4t + 5 (x в метрах, t в секундах). Найдите её скорость в момент t = 3 с.
Решение. Скорость — производная координаты: v(t) = x′(t) = 2t − 4. Подставим t = 3: v(3) = 2·3 − 4 = 2 (м/с).
Ответ: 2.