← ЕГЭ по математике — профильный уровень
Lesson
Степени, корни, логарифмы и тригонометрические тождества
Упрощать и вычислять числовые выражения со степенями, корнями, логарифмами и тригонометрическими функциями, применяя свойства и основные тождества.
Метод и образцовый пример
Свойства степеней, корней и логарифмов
СТЕПЕНИ: a^m · a^n = a^(m+n); a^m / a^n = a^(m−n); (a^m)^n = a^(mn); a^(−n) = 1/a^n; a^(1/n) = ⁿ√a.
ЛОГАРИФМЫ (a > 0, a ≠ 1): log_a(xy) = log_a x + log_a y; log_a(x/y) = log_a x − log_a y; log_a(x^k) = k·log_a x; log_a a = 1; a^(log_a b) = b; основное логарифмическое тождество.
ТРИГОНОМЕТРИЯ: sin²α + cos²α = 1; tg α = sin α / cos α; формулы двойного угла sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α.
ОБРАЗЦОВЫЙ ПРИМЕР.
Найдите значение выражения log₂ 5 + log₂ 1,6.
Решение. Сумму логарифмов с одинаковым основанием сворачиваем в логарифм произведения: log₂ 5 + log₂ 1,6 = log₂(5 · 1,6) = log₂ 8. Так как 8 = 2³, то log₂ 8 = 3.
Ответ: 3.
Lesson notes
Свойства степеней, корней и логарифмов
СТЕПЕНИ: a^m · a^n = a^(m+n); a^m / a^n = a^(m−n); (a^m)^n = a^(mn); a^(−n) = 1/a^n; a^(1/n) = ⁿ√a.
ЛОГАРИФМЫ (a > 0, a ≠ 1): log_a(xy) = log_a x + log_a y; log_a(x/y) = log_a x − log_a y; log_a(x^k) = k·log_a x; log_a a = 1; a^(log_a b) = b; основное логарифмическое тождество.
ТРИГОНОМЕТРИЯ: sin²α + cos²α = 1; tg α = sin α / cos α; формулы двойного угла sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α.
ОБРАЗЦОВЫЙ ПРИМЕР.
Найдите значение выражения log₂ 5 + log₂ 1,6.
Решение. Сумму логарифмов с одинаковым основанием сворачиваем в логарифм произведения: log₂ 5 + log₂ 1,6 = log₂(5 · 1,6) = log₂ 8. Так как 8 = 2³, то log₂ 8 = 3.
Ответ: 3.