Решать логарифмические и показательные неравенства: находить ОДЗ, корректно работать с основанием меньше 1, сводить к рациональному неравенству и применять метод интервалов.
Образцовое решение задания №15
Логарифмическое неравенство с основанием меньше 1
Задача. Решите неравенство log_{1/2}( (x − 3)/(x + 1) ) ≥ −1.
За что ставят баллы. №15 — 2 балла, ставят только за полностью верное решение с верным ответом; за решение с одной арифметической ошибкой обычно дают 1 балл. Здесь критично не потерять ОДЗ и правильно поменять знак неравенства из-за основания 1/2.
ШАГ 1. ОДЗ (область допустимых значений).
Под знаком логарифма должно стоять строго положительное выражение:
(x − 3)/(x + 1) > 0.
Нули числителя и знаменателя: x = 3 и x = −1. Метод интервалов для дроби: дробь положительна на (−∞; −1) и на (3; +∞). Значит ОДЗ: x < −1 или x > 3.
ШАГ 2. Избавляемся от логарифма (ОСНОВАНИЕ 1/2 < 1 — знак меняется!).
Правая часть −1 = log_{1/2}( (1/2)^{−1} ) = log_{1/2} 2. Неравенство принимает вид
log_{1/2}( (x − 3)/(x + 1) ) ≥ log_{1/2} 2.
Основание 1/2 меньше 1, поэтому логарифмическая функция убывает, и при «снятии» логарифмов знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный:
(x − 3)/(x + 1) ≤ 2.
Важно: само выражение под логарифмом по ОДЗ уже положительно, отдельное условие «> 0» мы учтём пересечением с ОДЗ.
ШАГ 3. Решаем рациональное неравенство методом интервалов.
Переносим всё влево: (x − 3)/(x + 1) − 2 ≤ 0. Приводим к общему знаменателю:
( (x − 3) − 2(x + 1) ) / (x + 1) ≤ 0 = ( x − 3 − 2x − 2 ) / (x + 1) = (−x − 5)/(x + 1) ≤ 0.
Умножим числитель и знаменатель на −1 (знак дроби сохраняется, если домножать и числитель, и знаменатель на −1): (x + 5)/(x + 1) ≥ 0.
Нули: x = −5 (числитель) и x = −1 (знаменатель, точка выколота). Метод интервалов:
— на (−∞; −5]: дробь ≥ 0 (включая x = −5, где числитель равен нулю);
— на (−5; −1): дробь < 0;
— на (−1; +∞): дробь > 0.
Решение неравенства (x + 5)/(x + 1) ≥ 0: x ≤ −5 или x > −1.
ШАГ 4. Пересекаем с ОДЗ.
ОДЗ: (−∞; −1) ∪ (3; +∞). Решение из шага 3: (−∞; −5] ∪ (−1; +∞).
Пересечение:
— (−∞; −1) ∩ (−∞; −5] = (−∞; −5];
— (−∞; −1) ∩ (−1; +∞) = пусто;
— (3; +∞) ∩ (−1; +∞) = (3; +∞).
Итог: x ∈ (−∞; −5] ∪ (3; +∞).
ОТВЕТ. (−∞; −5] ∪ (3; +∞).
ЛОГИКА И ЛОВУШКИ.
— Сначала ВСЕГДА выписываем ОДЗ. Для логарифма: аргумент > 0; для чётного корня: подкоренное ≥ 0; знаменатели ≠ 0.
— Основание логарифма: если оно больше 1 — знак неравенства сохраняется; если между 0 и 1 — знак МЕНЯЕТСЯ. Это самая частая ошибка в №15.
— Удобно представить правую часть как логарифм по тому же основанию: −1 = log_{1/2} 2.
— При домножении неравенства на (−1) знак переворачивается. При приведении дроби к виду «положительна/отрицательна» работаем методом интервалов, а не «домножаем на знаменатель» (знак знаменателя неизвестен).
— Концевые точки: где числитель = 0 и неравенство нестрогое, точку включаем (x = −5 входит); где знаменатель = 0 — всегда выкалываем (x = −1 не входит).
Lesson notes
Логарифмическое неравенство с основанием меньше 1
Задача. Решите неравенство log_{1/2}( (x − 3)/(x + 1) ) ≥ −1.
За что ставят баллы. №15 — 2 балла, ставят только за полностью верное решение с верным ответом; за решение с одной арифметической ошибкой обычно дают 1 балл. Здесь критично не потерять ОДЗ и правильно поменять знак неравенства из-за основания 1/2.
ШАГ 1. ОДЗ (область допустимых значений).
Под знаком логарифма должно стоять строго положительное выражение:
(x − 3)/(x + 1) > 0.
Нули числителя и знаменателя: x = 3 и x = −1. Метод интервалов для дроби: дробь положительна на (−∞; −1) и на (3; +∞). Значит ОДЗ: x < −1 или x > 3.
ШАГ 2. Избавляемся от логарифма (ОСНОВАНИЕ 1/2 < 1 — знак меняется!).
Правая часть −1 = log_{1/2}( (1/2)^{−1} ) = log_{1/2} 2. Неравенство принимает вид
log_{1/2}( (x − 3)/(x + 1) ) ≥ log_{1/2} 2.
Основание 1/2 меньше 1, поэтому логарифмическая функция убывает, и при «снятии» логарифмов знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный:
(x − 3)/(x + 1) ≤ 2.
Важно: само выражение под логарифмом по ОДЗ уже положительно, отдельное условие «> 0» мы учтём пересечением с ОДЗ.
ШАГ 3. Решаем рациональное неравенство методом интервалов.
Переносим всё влево: (x − 3)/(x + 1) − 2 ≤ 0. Приводим к общему знаменателю:
( (x − 3) − 2(x + 1) ) / (x + 1) ≤ 0 = ( x − 3 − 2x − 2 ) / (x + 1) = (−x − 5)/(x + 1) ≤ 0.
Умножим числитель и знаменатель на −1 (знак дроби сохраняется, если домножать и числитель, и знаменатель на −1): (x + 5)/(x + 1) ≥ 0.
Нули: x = −5 (числитель) и x = −1 (знаменатель, точка выколота). Метод интервалов:
— на (−∞; −5]: дробь ≥ 0 (включая x = −5, где числитель равен нулю);
— на (−5; −1): дробь < 0;
— на (−1; +∞): дробь > 0.
Решение неравенства (x + 5)/(x + 1) ≥ 0: x ≤ −5 или x > −1.
ШАГ 4. Пересекаем с ОДЗ.
ОДЗ: (−∞; −1) ∪ (3; +∞). Решение из шага 3: (−∞; −5] ∪ (−1; +∞).
Пересечение:
— (−∞; −1) ∩ (−∞; −5] = (−∞; −5];
— (−∞; −1) ∩ (−1; +∞) = пусто;
— (3; +∞) ∩ (−1; +∞) = (3; +∞).
Итог: x ∈ (−∞; −5] ∪ (3; +∞).
ОТВЕТ. (−∞; −5] ∪ (3; +∞).
ЛОГИКА И ЛОВУШКИ.
— Сначала ВСЕГДА выписываем ОДЗ. Для логарифма: аргумент > 0; для чётного корня: подкоренное ≥ 0; знаменатели ≠ 0.
— Основание логарифма: если оно больше 1 — знак неравенства сохраняется; если между 0 и 1 — знак МЕНЯЕТСЯ. Это самая частая ошибка в №15.
— Удобно представить правую часть как логарифм по тому же основанию: −1 = log_{1/2} 2.
— При домножении неравенства на (−1) знак переворачивается. При приведении дроби к виду «положительна/отрицательна» работаем методом интервалов, а не «домножаем на знаменатель» (знак знаменателя неизвестен).
— Концевые точки: где числитель = 0 и неравенство нестрогое, точку включаем (x = −5 входит); где знаменатель = 0 — всегда выкалываем (x = −1 не входит).
Знак неравенства и метод интервалов
Показательные неравенства a^{f(x)} ∨ a^{g(x)}:
— если a > 1 — переходим к f(x) ∨ g(x) с ТЕМ ЖЕ знаком (функция возрастает);
— если 0 < a < 1 — переходим к f(x) и g(x) с ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ знаком (функция убывает);
— ОДЗ у показательной функции нет ограничений (a^x определено всюду).
Логарифмические неравенства log_a f(x) ∨ log_a g(x):
— ОДЗ: f(x) > 0 и g(x) > 0 (и a > 0, a ≠ 1);
— если a > 1 — знак сохраняется: f(x) ∨ g(x);
— если 0 < a < 1 — знак МЕНЯЕТСЯ: f(x) и g(x) меняются местами по знаку.
Метод интервалов (для рациональных неравенств):
1) перенести всё в одну часть, привести к виду (числитель)/(знаменатель) ∨ 0;
2) найти нули числителя и знаменателя;
3) отметить их на прямой: из числителя — закрашенные при нестрогом знаке, из знаменателя — всегда выколотые;
4) расставить знаки на промежутках (проще — подставить пробную точку справа и чередовать знак при переходе через простой корень);
5) выбрать промежутки нужного знака.
Корень чётной кратности (множитель в квадрате) знак НЕ меняет — в этой точке отметка ставится, но знаки слева и справа одинаковые.
Полезные замены:
— t = a^x (t > 0) для показательных;
— t = log_a x для логарифмических — сводят к квадратному неравенству относительно t.