Решать простейшие показательные и логарифмические уравнения, приводя к равенству показателей или используя определение логарифма.
Метод и образцовый пример
Показательные и логарифмические уравнения
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ. Уравнение вида a^(f(x)) = a^(g(x)) при a > 0, a ≠ 1 равносильно равенству показателей: f(x) = g(x). Если справа стоит число, представьте его степенью того же основания.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ. По определению логарифма log_a b = c означает a^c = b (при a > 0, a ≠ 1, b > 0). Уравнение log_a f(x) = c равносильно f(x) = a^c (с проверкой области определения f(x) > 0). Уравнение log_a f(x) = log_a g(x) равносильно f(x) = g(x) при f(x) > 0.
ОБРАЗЦОВЫЙ ПРИМЕР.
Решите уравнение log₂(x − 3) = 4.
Решение. По определению логарифма: x − 3 = 2⁴ = 16. Отсюда x = 19. Проверим область определения: x − 3 = 16 > 0 — верно.
Ответ: 19.
Lesson notes
Показательные и логарифмические уравнения
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ. Уравнение вида a^(f(x)) = a^(g(x)) при a > 0, a ≠ 1 равносильно равенству показателей: f(x) = g(x). Если справа стоит число, представьте его степенью того же основания.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ. По определению логарифма log_a b = c означает a^c = b (при a > 0, a ≠ 1, b > 0). Уравнение log_a f(x) = c равносильно f(x) = a^c (с проверкой области определения f(x) > 0). Уравнение log_a f(x) = log_a g(x) равносильно f(x) = g(x) при f(x) > 0.
ОБРАЗЦОВЫЙ ПРИМЕР.
Решите уравнение log₂(x − 3) = 4.
Решение. По определению логарифма: x − 3 = 2⁴ = 16. Отсюда x = 19. Проверим область определения: x − 3 = 16 > 0 — верно.
Ответ: 19.