← ЕГЭ по математике — профильный уровень
Lesson
Треугольники: площадь, медиана, биссектриса, теорема косинусов
Находить стороны, углы и площади треугольников по известным элементам, применяя теоремы синусов и косинусов, формулы площади и свойства медиан и биссектрис.
Чертёж: площадь по двум сторонам и углу
S = ½·AB·BC·sin B
Угол B заключён между сторонами AB и BC. Например, при AB = 6, BC = 8, ∠B = 30°: S = ½·6·8·sin 30° = 12.
Lesson notes
Три способа найти площадь
Площадь треугольника находят тремя способами:
— по двум сторонам и углу между ними: S = ½·a·b·sin C;
— по стороне и высоте к ней: S = ½·a·h_a;
— по трём сторонам (формула Герона): S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), где p = (a+b+c)/2 — полупериметр.
c² = a² + b² − 2ab·cos C
Теорема косинусов находит третью сторону по двум сторонам и углу между ними: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Эта же формула позволяет найти угол, если известны все три стороны.
a/sin A = 2R
Теорема синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, где R — радиус описанной окружности. Также R = abc/(4S).
r = S/p
Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника. Её радиус r = S/p, где S — площадь, p — полупериметр.
m_c = ½·√(2a² + 2b² − c²)
Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны: m_c = ½·√(2a² + 2b² − c²). Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника равна её половине.
BL/LC = AB/AC
Биссектриса угла делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: BL/LC = AB/AC.