Вычислять объёмы и площади поверхностей основных тел вращения и многогранников; находить элементы при изменении линейных размеров.
Метод и образцовый пример
Формулы объёмов и поверхностей
Запомните базовые формулы (S_осн — площадь основания, h — высота):
— Призма и цилиндр: V = S_осн·h. Для цилиндра S_осн = πR², значит V = πR²h.
— Пирамида и конус: V = (1/3)·S_осн·h. Для конуса V = (1/3)·πR²h.
— Шар: V = (4/3)·πR³, площадь сферы S = 4πR².
— Боковая поверхность цилиндра: S_бок = 2πRh. Конуса: S_бок = πRl, где l — образующая.
Важное свойство подобия: при увеличении всех линейных размеров тела в k раз площади растут в k² раз, а объём — в k³ раз.
ОБРАЗЦОВЫЙ ПРИМЕР.
Объём конуса равен 12. Через середину высоты параллельно основанию проведено сечение, отсекающее от конуса меньший конус. Найдите объём меньшего конуса.
Решение. Меньший конус подобен исходному с коэффициентом k = 1/2 (его высота вдвое меньше). Объём меняется как k³ = (1/2)³ = 1/8.
V_меньшего = 12·(1/8) = 1,5.
Ответ: 1,5.
Lesson notes
Формулы объёмов и поверхностей
Запомните базовые формулы (S_осн — площадь основания, h — высота):
— Призма и цилиндр: V = S_осн·h. Для цилиндра S_осн = πR², значит V = πR²h.
— Пирамида и конус: V = (1/3)·S_осн·h. Для конуса V = (1/3)·πR²h.
— Шар: V = (4/3)·πR³, площадь сферы S = 4πR².
— Боковая поверхность цилиндра: S_бок = 2πRh. Конуса: S_бок = πRl, где l — образующая.
Важное свойство подобия: при увеличении всех линейных размеров тела в k раз площади растут в k² раз, а объём — в k³ раз.
ОБРАЗЦОВЫЙ ПРИМЕР.
Объём конуса равен 12. Через середину высоты параллельно основанию проведено сечение, отсекающее от конуса меньший конус. Найдите объём меньшего конуса.
Решение. Меньший конус подобен исходному с коэффициентом k = 1/2 (его высота вдвое меньше). Объём меняется как k³ = (1/2)³ = 1/8.
V_меньшего = 12·(1/8) = 1,5.
Ответ: 1,5.