Метод и разбор

Задача. а) Решите уравнение 2cos²x + sin x + 1 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2]. За что ставят баллы. №13 оценивается в 2 балла: пункт «а» (само решение уравнения) и пункт «б» (отбор корней на отрезке). Можно получить 1 балл за полностью верный пункт «а», даже если отбор не доведён до конца. Поэтому решение всегда оформляют двумя пунктами. ШАГ 1. Сводим всё к одной функции. В уравнении есть и косинус, и синус. Косинус стоит в квадрате, поэтому удобно выразить его через синус по основному тригонометрическому тождеству: cos²x = 1 − sin²x. Подставляем: 2(1 − sin²x) + sin x + 1 = 0. Раскрываем скобки: 2 − 2sin²x + sin x + 1 = 0, то есть −2sin²x + sin x + 3 = 0. Умножаем обе части на −1, чтобы старший коэффициент стал положительным: 2sin²x − sin x − 3 = 0. ШАГ 2. Решаем как квадратное относительно sin x. Обозначим t = sin x. Тогда 2t² − t − 3 = 0. Дискриминант D = (−1)² − 4·2·(−3) = 1 + 24 = 25, √D = 5. t = (1 ± 5) / 4. Получаем t₁ = 6/4 = 3/2 и t₂ = −4/4 = −1. ШАГ 3. Отбрасываем посторонний корень. Значение синуса всегда лежит в пределах от −1 до 1. Поэтому sin x = 3/2 — невозможно, этот корень отбрасываем. Это типичная и обязательная проверка: записать «3/2 > 1, не подходит». Остаётся sin x = −1. ШАГ 4. Записываем общее решение. Уравнение sin x = −1 — это частный случай. Синус равен −1 в нижней точке единичной окружности, поэтому решение записывается одной серией (а не двумя, как для общего sin x = a): x = −π/2 + 2πn, n ∈ ℤ. Это и есть ответ пункта «а». ШАГ 5. Отбор корней на отрезке [π; 5π/2]. Способ через двойное неравенство. Подставляем общую формулу в условие π ≤ x ≤ 5π/2: π ≤ −π/2 + 2πn ≤ 5π/2. Прибавляем π/2 ко всем частям: 3π/2 ≤ 2πn ≤ 3π. Делим на 2π: 3/4 ≤ n ≤ 3/2. Целое n в промежутке [0,75; 1,5] только одно — n = 1. Подставляем n = 1 в формулу: x = −π/2 + 2π = 3π/2. Проверка: 3π/2 действительно лежит между π и 5π/2 (то есть между 2π/2 и 5π/2). Подходит. ОТВЕТ. а) x = −π/2 + 2πn, n ∈ ℤ; б) 3π/2. ЛОГИКА И ЛОВУШКИ. — Главное в №13 — свести уравнение к одной тригонометрической функции. Если в квадрате стоит косинус, а в первой степени — синус, заменяют именно квадрат (cos²x = 1 − sin²x), чтобы получить квадратное уравнение относительно sin x. — Обязательно проверяйте, лежит ли найденное значение в диапазоне [−1; 1]. Забыть отбросить sin x = 3/2 — самая частая потеря баллов. — Для sin x = ±1 и cos x = ±1 пишите ОДНУ серию, а не общую двухсерийную запись: лишние «корни» приведут к ошибке в отборе. — Отбор можно делать двумя способами: через двойное неравенство (как выше) или по тригонометрической окружности. Двойное неравенство надёжнее, когда промежуток большой.

Частные случаи (запоминаются как точки на окружности): — sin x = 0 ⇒ x = πn; — sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn; — sin x = −1 ⇒ x = −π/2 + 2πn; — cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn; — cos x = 1 ⇒ x = 2πn; — cos x = −1 ⇒ x = π + 2πn. Общие формулы (когда a не равно 0 и ±1): — sin x = a ⇒ x = (−1)^k · arcsin a + πk, либо двумя сериями x = arcsin a + 2πn и x = π − arcsin a + 2πn; — cos x = a ⇒ x = ± arccos a + 2πn; — tg x = a ⇒ x = arctg a + πn. Полезные тождества для сведения к одной функции: — sin²x + cos²x = 1 (отсюда cos²x = 1 − sin²x и sin²x = 1 − cos²x); — cos 2x = 1 − 2sin²x = 2cos²x − 1; — sin 2x = 2 sin x cos x. Отбор корней: два рабочих приёма. 1) Двойное неравенство: подставить общую формулу x в условие левая граница ≤ x ≤ правая граница, выразить n, найти целые значения n. 2) Окружность / числовая прямая: отметить найденную серию и выбрать точки, попавшие в промежуток. Удобно, когда корней мало, а промежуток короткий.