Решать простейшие тригонометрические уравнения и выбирать корень по условию; решать иррациональные уравнения возведением в степень с проверкой.
Метод и образцовый пример
Тригонометрические и иррациональные уравнения
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ. Простейшие решения:
— cos x = a: x = ±arccos a + 2πn.
— sin x = a: x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn.
— tg x = a: x = arctg a + πn.
В задании №6 обычно просят найти корень на заданном отрезке или наибольший отрицательный (наименьший положительный) корень — после записи общей серии подберите нужное целое n.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ. Уравнение √(f(x)) = g(x) решают возведением в квадрат: f(x) = g(x)², но обязательно с условием g(x) ≥ 0 и f(x) ≥ 0. Все найденные корни проверяйте подстановкой — возведение в квадрат может дать посторонние корни.
ОБРАЗЦОВЫЙ ПРИМЕР.
Решите уравнение √(2x + 7) = 3.
Решение. Правая часть 3 ≥ 0 — возведение в квадрат корректно. Возведём обе части в квадрат: 2x + 7 = 9, отсюда 2x = 2, x = 1. Проверка: √(2·1 + 7) = √9 = 3 — верно.
Ответ: 1.
Lesson notes
Тригонометрические и иррациональные уравнения
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ. Простейшие решения:
— cos x = a: x = ±arccos a + 2πn.
— sin x = a: x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn.
— tg x = a: x = arctg a + πn.
В задании №6 обычно просят найти корень на заданном отрезке или наибольший отрицательный (наименьший положительный) корень — после записи общей серии подберите нужное целое n.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ. Уравнение √(f(x)) = g(x) решают возведением в квадрат: f(x) = g(x)², но обязательно с условием g(x) ≥ 0 и f(x) ≥ 0. Все найденные корни проверяйте подстановкой — возведение в квадрат может дать посторонние корни.
ОБРАЗЦОВЫЙ ПРИМЕР.
Решите уравнение √(2x + 7) = 3.
Решение. Правая часть 3 ≥ 0 — возведение в квадрат корректно. Возведём обе части в квадрат: 2x + 7 = 9, отсюда 2x = 2, x = 1. Проверка: √(2·1 + 7) = √9 = 3 — верно.
Ответ: 1.