Находить координаты вектора по точкам, длину вектора, скалярное произведение и угол между векторами; применять условия коллинеарности и перпендикулярности.
Метод и образцовый пример
Действия с векторами в координатах
Если A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то вектор AB имеет координаты (x₂ − x₁; y₂ − y₁).
— Длина вектора a(x; y): |a| = √(x² + y²).
— Сумма и разность: складываем (вычитаем) одноимённые координаты. Умножение на число k: (kx; ky).
— Скалярное произведение: a·b = x₁x₂ + y₁y₂. Также a·b = |a|·|b|·cos φ, где φ — угол между векторами.
— Косинус угла между векторами: cos φ = (a·b)/(|a|·|b|).
— Векторы ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ, когда a·b = 0.
— Векторы КОЛЛИНЕАРНЫ, когда их координаты пропорциональны: x₁·y₂ − x₂·y₁ = 0.
ОБРАЗЦОВЫЙ ПРИМЕР.
Даны векторы a(3; −1) и b(2; 4). Найдите их скалярное произведение.
Решение. a·b = 3·2 + (−1)·4 = 6 − 4 = 2.
Ответ: 2.
Lesson notes
Действия с векторами в координатах
Если A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то вектор AB имеет координаты (x₂ − x₁; y₂ − y₁).
— Длина вектора a(x; y): |a| = √(x² + y²).
— Сумма и разность: складываем (вычитаем) одноимённые координаты. Умножение на число k: (kx; ky).
— Скалярное произведение: a·b = x₁x₂ + y₁y₂. Также a·b = |a|·|b|·cos φ, где φ — угол между векторами.
— Косинус угла между векторами: cos φ = (a·b)/(|a|·|b|).
— Векторы ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ, когда a·b = 0.
— Векторы КОЛЛИНЕАРНЫ, когда их координаты пропорциональны: x₁·y₂ − x₂·y₁ = 0.
ОБРАЗЦОВЫЙ ПРИМЕР.
Даны векторы a(3; −1) и b(2; 4). Найдите их скалярное произведение.
Решение. a·b = 3·2 + (−1)·4 = 6 − 4 = 2.
Ответ: 2.