Научиться моделировать кредит: считать начисление процентов и платежи, составлять таблицу выплат, находить переплату; различать дифференцированную и аннуитетную схемы.
Образцовое решение задания №16
Кредит с погашением тела долга равными частями
Задача. Клиент взял в банке кредит 900 000 рублей на 3 года. Условия таковы: в конце каждого года банк начисляет на оставшийся долг 10%, после чего клиент вносит платёж. Платежи подобраны так, чтобы основной долг (тело кредита) уменьшался каждый год на одну и ту же величину и через 3 года стал равен нулю. Найдите: а) размеры всех трёх платежей; б) общую сумму выплат и переплату по кредиту.
За что ставят баллы. №16 — 2 балла. Ставят за верную модель И верный ответ; за арифметическую ошибку при правильной модели обычно 1 балл. Главное — аккуратно описать, что происходит каждый год.
ПОНИМАНИЕ СХЕМЫ (дифференцированные платежи).
Тело долга 900 000 гасится тремя равными частями по 900 000 / 3 = 300 000 рублей в год. Значит остаток основного долга меняется так: 900 000 → 600 000 → 300 000 → 0. Каждый год сверх части тела клиент платит проценты, начисленные на остаток долга на начало этого года (то есть на текущий долг перед начислением).
ШАГ 1. Первый год.
Долг на начало года: 900 000. Проценты: 10% от 900 000 = 90 000.
Платёж₁ = (часть тела) + (проценты) = 300 000 + 90 000 = 390 000 рублей.
Остаток основного долга после платежа: 900 000 − 300 000 = 600 000.
ШАГ 2. Второй год.
Долг на начало года: 600 000. Проценты: 10% от 600 000 = 60 000.
Платёж₂ = 300 000 + 60 000 = 360 000 рублей.
Остаток: 600 000 − 300 000 = 300 000.
ШАГ 3. Третий год.
Долг на начало года: 300 000. Проценты: 10% от 300 000 = 30 000.
Платёж₃ = 300 000 + 30 000 = 330 000 рублей.
Остаток: 300 000 − 300 000 = 0. Кредит погашен.
ШАГ 4. Сумма выплат и переплата.
Всего выплачено: 390 000 + 360 000 + 330 000 = 1 080 000 рублей.
Переплата = (всего выплачено) − (сумма кредита) = 1 080 000 − 900 000 = 180 000 рублей.
ОТВЕТ. а) платежи 390 000, 360 000 и 330 000 рублей; б) всего 1 080 000 рублей, переплата 180 000 рублей.
ПОЛЕЗНАЯ ПРОВЕРКА. Переплата — это сумма всех начисленных процентов: 90 000 + 60 000 + 30 000 = 180 000. Совпало — решение согласовано.
ЛОГИКА И ЛОВУШКИ.
— В дифференцированной схеме тело долга гасится равными долями, а платежи УБЫВАЮТ, потому что проценты начисляются на всё меньший остаток.
— Проценты считаются от ОСТАТКА на начало периода (после предыдущего платежа), а не от исходной суммы каждый раз.
— Платёж = часть тела + проценты за период. Не путайте «часть тела» (всегда 300 000) и «платёж» (меняется).
— Переплата = всего выплачено − взято в долг. Удобно сверять её с суммой всех процентов.
— В аннуитетной схеме (равные платежи) долг считается иначе: остаток после платежа = остаток·(1 + p) − X, где X — фиксированный платёж; такие задачи решают через уравнение на X.
Lesson notes
Кредит с погашением тела долга равными частями
Задача. Клиент взял в банке кредит 900 000 рублей на 3 года. Условия таковы: в конце каждого года банк начисляет на оставшийся долг 10%, после чего клиент вносит платёж. Платежи подобраны так, чтобы основной долг (тело кредита) уменьшался каждый год на одну и ту же величину и через 3 года стал равен нулю. Найдите: а) размеры всех трёх платежей; б) общую сумму выплат и переплату по кредиту.
За что ставят баллы. №16 — 2 балла. Ставят за верную модель И верный ответ; за арифметическую ошибку при правильной модели обычно 1 балл. Главное — аккуратно описать, что происходит каждый год.
ПОНИМАНИЕ СХЕМЫ (дифференцированные платежи).
Тело долга 900 000 гасится тремя равными частями по 900 000 / 3 = 300 000 рублей в год. Значит остаток основного долга меняется так: 900 000 → 600 000 → 300 000 → 0. Каждый год сверх части тела клиент платит проценты, начисленные на остаток долга на начало этого года (то есть на текущий долг перед начислением).
ШАГ 1. Первый год.
Долг на начало года: 900 000. Проценты: 10% от 900 000 = 90 000.
Платёж₁ = (часть тела) + (проценты) = 300 000 + 90 000 = 390 000 рублей.
Остаток основного долга после платежа: 900 000 − 300 000 = 600 000.
ШАГ 2. Второй год.
Долг на начало года: 600 000. Проценты: 10% от 600 000 = 60 000.
Платёж₂ = 300 000 + 60 000 = 360 000 рублей.
Остаток: 600 000 − 300 000 = 300 000.
ШАГ 3. Третий год.
Долг на начало года: 300 000. Проценты: 10% от 300 000 = 30 000.
Платёж₃ = 300 000 + 30 000 = 330 000 рублей.
Остаток: 300 000 − 300 000 = 0. Кредит погашен.
ШАГ 4. Сумма выплат и переплата.
Всего выплачено: 390 000 + 360 000 + 330 000 = 1 080 000 рублей.
Переплата = (всего выплачено) − (сумма кредита) = 1 080 000 − 900 000 = 180 000 рублей.
ОТВЕТ. а) платежи 390 000, 360 000 и 330 000 рублей; б) всего 1 080 000 рублей, переплата 180 000 рублей.
ПОЛЕЗНАЯ ПРОВЕРКА. Переплата — это сумма всех начисленных процентов: 90 000 + 60 000 + 30 000 = 180 000. Совпало — решение согласовано.
ЛОГИКА И ЛОВУШКИ.
— В дифференцированной схеме тело долга гасится равными долями, а платежи УБЫВАЮТ, потому что проценты начисляются на всё меньший остаток.
— Проценты считаются от ОСТАТКА на начало периода (после предыдущего платежа), а не от исходной суммы каждый раз.
— Платёж = часть тела + проценты за период. Не путайте «часть тела» (всегда 300 000) и «платёж» (меняется).
— Переплата = всего выплачено − взято в долг. Удобно сверять её с суммой всех процентов.
— В аннуитетной схеме (равные платежи) долг считается иначе: остаток после платежа = остаток·(1 + p) − X, где X — фиксированный платёж; такие задачи решают через уравнение на X.
Базовые модели №16
Процент и множитель роста. Увеличить величину на p% — значит умножить на (1 + p/100). Например, +10% — это умножение на 1,1; +20% — на 1,2.
Вклад (сложные проценты). Если каждый год сумма растёт на p%, то через n лет вклад S превратится в S·(1 + p/100)^n.
Кредит, дифференцированные платежи (как в разобранной задаче):
— тело долга D гасится равными частями D/n за n периодов;
— остаток на начало k-го периода: D − (k−1)·D/n;
— платёж k-го периода = D/n + (процент)·(остаток на начало периода);
— платежи убывают; переплата = сумма всех начисленных процентов.
Кредит, аннуитетные (равные) платежи:
— пусть множитель за период q = 1 + p/100, фиксированный платёж X;
— остаток после очередного платежа: (предыдущий остаток)·q − X;
— чтобы долг погасился за n периодов, составляют уравнение: D·qⁿ = X·(qⁿ⁻¹ + qⁿ⁻² + … + 1);
— сумму геометрической прогрессии в скобках считают по формуле (qⁿ − 1)/(q − 1).
Оптимизационные задачи (поиск максимума прибыли/минимума затрат):
— выражают целевую величину как функцию одной переменной;
— ищут вершину параболы (для квадратичной модели: x = −b/(2a)) или применяют производную;
— обязательно проверяют, что найденная точка попадает в допустимые границы (например, объём производства целый и неотрицательный).
Главный совет: всегда заводите таблицу «начало периода → начисление процентов → платёж → остаток». Она исключает большинство ошибок.