Освоить схему №17: пункт «а» — доказательство планиметрического факта со ссылкой на признаки и теоремы; пункт «б» — вычисление длины, радиуса или площади.
Образцовое решение задания №17
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию
Задача. В равнобедренную трапецию ABCD (BC ∥ AD, BC = 4, AD = 16) можно вписать окружность.
а) Докажите, что боковая сторона трапеции равна полусумме оснований.
б) Найдите радиус вписанной окружности.
За что ставят баллы. №17 даёт 3 балла: пункт «а» — доказательство (1 балл), пункт «б» — вычисление (2 балла). Доказательство нужно вести строго, опираясь на теоремы; чертёж обязателен.
ЧАСТЬ а) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Ключевое свойство описанного многоугольника: в четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Для трапеции ABCD это условие: AB + CD = BC + AD.
Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны: AB = CD. Обозначим их через c. Тогда левая часть равна 2c, и условие даёт:
2c = BC + AD, откуда c = (BC + AD)/2.
То есть боковая сторона равна полусумме оснований. Что и требовалось доказать.
(Это же доказывает, что боковая сторона равна средней линии трапеции, ведь средняя линия тоже равна (BC + AD)/2.)
ЧАСТЬ б) ВЫЧИСЛЕНИЕ радиуса.
Шаг 1. Находим боковую сторону. По доказанному c = (BC + AD)/2 = (4 + 16)/2 = 10.
Шаг 2. Находим высоту трапеции h.
Опустим из вершин меньшего основания BC высоты на большее основание AD. Они отсекают по краям два равных прямоугольных треугольника (трапеция равнобедренная). Горизонтальный катет каждого равен (AD − BC)/2 = (16 − 4)/2 = 6, гипотенуза — боковая сторона c = 10. По теореме Пифагора:
h = √(c² − 6²) = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8.
Шаг 3. Связываем высоту и радиус.
Если в трапецию вписана окружность, она касается обоих оснований, а расстояние между основаниями (высота) равно двум радиусам: h = 2r. Значит
r = h/2 = 8/2 = 4.
ПРОВЕРКА через площадь. Площадь трапеции S = ((BC + AD)/2)·h = ((4 + 16)/2)·8 = 10·8 = 80. С другой стороны, для описанного многоугольника S = r·p, где p — полупериметр. Периметр = 4 + 16 + 10 + 10 = 40, полупериметр p = 20. Тогда S = r·p = 4·20 = 80. Совпало — ответ верен.
ОТВЕТ. б) радиус вписанной окружности равен 4.
ЛОГИКА И ЛОВУШКИ.
— Условие вписанной окружности в четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны (AB + CD = BC + AD). Для трапеции это сразу даёт связь боковой стороны с основаниями.
— Высота равнобедренной трапеции ищется через прямоугольный треугольник с катетом (AD − BC)/2 и гипотенузой — боковой стороной.
— Для трапеции с вписанной окружностью высота равна диаметру: h = 2r. Это короткий путь к радиусу.
— Формула S = r·p (площадь = радиус × полупериметр) работает для ЛЮБОГО описанного многоугольника и служит отличной проверкой.
— Не забывайте чертёж: без него за пункт «а» баллы часто снимают.
Lesson notes
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию
Задача. В равнобедренную трапецию ABCD (BC ∥ AD, BC = 4, AD = 16) можно вписать окружность.
а) Докажите, что боковая сторона трапеции равна полусумме оснований.
б) Найдите радиус вписанной окружности.
За что ставят баллы. №17 даёт 3 балла: пункт «а» — доказательство (1 балл), пункт «б» — вычисление (2 балла). Доказательство нужно вести строго, опираясь на теоремы; чертёж обязателен.
ЧАСТЬ а) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Ключевое свойство описанного многоугольника: в четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Для трапеции ABCD это условие: AB + CD = BC + AD.
Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны: AB = CD. Обозначим их через c. Тогда левая часть равна 2c, и условие даёт:
2c = BC + AD, откуда c = (BC + AD)/2.
То есть боковая сторона равна полусумме оснований. Что и требовалось доказать.
(Это же доказывает, что боковая сторона равна средней линии трапеции, ведь средняя линия тоже равна (BC + AD)/2.)
ЧАСТЬ б) ВЫЧИСЛЕНИЕ радиуса.
Шаг 1. Находим боковую сторону. По доказанному c = (BC + AD)/2 = (4 + 16)/2 = 10.
Шаг 2. Находим высоту трапеции h.
Опустим из вершин меньшего основания BC высоты на большее основание AD. Они отсекают по краям два равных прямоугольных треугольника (трапеция равнобедренная). Горизонтальный катет каждого равен (AD − BC)/2 = (16 − 4)/2 = 6, гипотенуза — боковая сторона c = 10. По теореме Пифагора:
h = √(c² − 6²) = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8.
Шаг 3. Связываем высоту и радиус.
Если в трапецию вписана окружность, она касается обоих оснований, а расстояние между основаниями (высота) равно двум радиусам: h = 2r. Значит
r = h/2 = 8/2 = 4.
ПРОВЕРКА через площадь. Площадь трапеции S = ((BC + AD)/2)·h = ((4 + 16)/2)·8 = 10·8 = 80. С другой стороны, для описанного многоугольника S = r·p, где p — полупериметр. Периметр = 4 + 16 + 10 + 10 = 40, полупериметр p = 20. Тогда S = r·p = 4·20 = 80. Совпало — ответ верен.
ОТВЕТ. б) радиус вписанной окружности равен 4.
ЛОГИКА И ЛОВУШКИ.
— Условие вписанной окружности в четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны (AB + CD = BC + AD). Для трапеции это сразу даёт связь боковой стороны с основаниями.
— Высота равнобедренной трапеции ищется через прямоугольный треугольник с катетом (AD − BC)/2 и гипотенузой — боковой стороной.
— Для трапеции с вписанной окружностью высота равна диаметру: h = 2r. Это короткий путь к радиусу.
— Формула S = r·p (площадь = радиус × полупериметр) работает для ЛЮБОГО описанного многоугольника и служит отличной проверкой.
— Не забывайте чертёж: без него за пункт «а» баллы часто снимают.
Инструменты для №17
Вписанная и описанная окружности четырёхугольника:
— в четырёхугольник можно ВПИСАТЬ окружность ⟺ суммы противоположных сторон равны (a + c = b + d);
— около четырёхугольника можно ОПИСАТЬ окружность ⟺ суммы противоположных углов равны 180°.
Трапеция:
— средняя линия = полусумма оснований (BC + AD)/2;
— площадь S = (полусумма оснований) · высота;
— у равнобедренной трапеции боковые стороны равны, а высоты из вершин меньшего основания отсекают равные прямоугольные треугольники с катетом (AD − BC)/2.
Описанный многоугольник (есть вписанная окружность):
— площадь S = r · p, где r — радиус вписанной окружности, p — полупериметр;
— у трапеции с вписанной окружностью высота равна диаметру: h = 2r.
Треугольник — ключевые формулы:
— площадь S = (1/2)·a·b·sin C = (1/2)·(основание)·(высота);
— теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos C;
— теорема синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R;
— радиус вписанной окружности r = S/p; радиус описанной R = abc/(4S);
— медиана к стороне c: m_c = (1/2)·√(2a² + 2b² − c²).
Признаки подобия (для доказательств): по двум углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам. Подобие даёт пропорции сторон — частый ход в пункте «а».