Решать задачи на свойства чисел с пунктами а)–в): приводить пример, доказывать невозможность через оценку, находить и обосновывать экстремальное значение.
Образцовое решение задания №19
Различные натуральные числа с заданной суммой
Задача. Сумма нескольких различных натуральных чисел равна 100.
а) Может ли таких чисел быть 12?
б) Может ли таких чисел быть 14?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть?
За что ставят баллы. №19 — 4 балла, обычно по структуре а)/б)/в). За пункт «а» (пример) — 1 балл, за «б» (часто доказательство невозможности) — 1 балл, за «в» (экстремум с обоснованием) — 2 балла. Можно набирать баллы по частям, поэтому решайте каждый пункт отдельно.
КЛЮЧЕВАЯ ОЦЕНКА. Если взять k различных натуральных чисел, то самые маленькие из возможных — это 1, 2, 3, …, k. Их сумма наименьшая среди всех наборов из k различных натуральных чисел и равна
1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2.
Любой другой набор из k различных натуральных даёт сумму не меньше этой. Эта оценка снизу — главный инструмент задачи.
ПУНКТ а) Может ли чисел быть 12?
Минимальная сумма 12 различных натуральных чисел: 12·13/2 = 78. Это меньше 100, значит «запас» 100 − 78 = 22 можно распределить. Достаточно привести пример. Возьмём 1, 2, 3, …, 11 (их сумма 66) и вместо 12 поставим число 12 + 22 = 34. Набор {1, 2, …, 11, 34} состоит из 12 различных натуральных чисел, а его сумма 66 + 34 = 100.
Ответ на «а»: ДА, может (пример приведён).
ПУНКТ б) Может ли чисел быть 14?
Минимальная сумма 14 различных натуральных чисел: 14·15/2 = 105. Но 105 > 100. Значит даже самый «экономный» набор из 14 различных натуральных чисел уже в сумме больше 100, и уложиться в 100 невозможно.
Ответ на «б»: НЕТ, не может (доказано оценкой).
ПУНКТ в) Наибольшее количество чисел.
Из пункта «б» видно: 14 чисел невозможно, потому что их минимальная сумма 105 > 100. Проверим 13: минимальная сумма 13 различных натуральных чисел равна 13·14/2 = 91, и 91 ≤ 100 — значит набор из 13 чисел в принципе возможен. Приведём пример ровно на 13 чисел с суммой 100: начальный набор 1, 2, …, 13 имеет сумму 91. Заменим 13 на 22, то есть увеличим сумму на 9. Новый набор {1, 2, …, 12, 22} состоит из 13 различных натуральных чисел, а его сумма равна 91 − 13 + 22 = 100.
Итак, 13 чисел возможно, а 14 — нет. Наибольшее количество равно 13.
Ответ на «в»: 13.
ОБЩИЙ ОТВЕТ. а) да; б) нет; в) 13.
ЛОГИКА И ЛОВУШКИ.
— Главная идея: минимальная сумма k различных натуральных чисел равна 1 + 2 + … + k = k(k+1)/2. Через неё доказывают и возможность, и невозможность.
— Для пункта «можно ли» достаточно одного примера; для пункта «нельзя» нужно строгое доказательство (здесь — оценка снизу).
— Чтобы из набора 1, 2, …, k получить нужную сумму S (когда S ≥ минимальной), увеличивают наибольшее число на недостающую величину S − k(k+1)/2 — новое число остаётся наибольшим и не совпадает с остальными.
— В пункте «в» обязательно показать ОБЕ части: что искомое количество достижимо (пример) и что большее невозможно (оценка). Только пример или только оценка — это неполное решение.
— Слово «различных» критично: для одинаковых чисел оценка k(k+1)/2 не работает. Внимательно читайте условие.
Lesson notes
Различные натуральные числа с заданной суммой
Задача. Сумма нескольких различных натуральных чисел равна 100.
а) Может ли таких чисел быть 12?
б) Может ли таких чисел быть 14?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть?
За что ставят баллы. №19 — 4 балла, обычно по структуре а)/б)/в). За пункт «а» (пример) — 1 балл, за «б» (часто доказательство невозможности) — 1 балл, за «в» (экстремум с обоснованием) — 2 балла. Можно набирать баллы по частям, поэтому решайте каждый пункт отдельно.
КЛЮЧЕВАЯ ОЦЕНКА. Если взять k различных натуральных чисел, то самые маленькие из возможных — это 1, 2, 3, …, k. Их сумма наименьшая среди всех наборов из k различных натуральных чисел и равна
1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2.
Любой другой набор из k различных натуральных даёт сумму не меньше этой. Эта оценка снизу — главный инструмент задачи.
ПУНКТ а) Может ли чисел быть 12?
Минимальная сумма 12 различных натуральных чисел: 12·13/2 = 78. Это меньше 100, значит «запас» 100 − 78 = 22 можно распределить. Достаточно привести пример. Возьмём 1, 2, 3, …, 11 (их сумма 66) и вместо 12 поставим число 12 + 22 = 34. Набор {1, 2, …, 11, 34} состоит из 12 различных натуральных чисел, а его сумма 66 + 34 = 100.
Ответ на «а»: ДА, может (пример приведён).
ПУНКТ б) Может ли чисел быть 14?
Минимальная сумма 14 различных натуральных чисел: 14·15/2 = 105. Но 105 > 100. Значит даже самый «экономный» набор из 14 различных натуральных чисел уже в сумме больше 100, и уложиться в 100 невозможно.
Ответ на «б»: НЕТ, не может (доказано оценкой).
ПУНКТ в) Наибольшее количество чисел.
Из пункта «б» видно: 14 чисел невозможно, потому что их минимальная сумма 105 > 100. Проверим 13: минимальная сумма 13 различных натуральных чисел равна 13·14/2 = 91, и 91 ≤ 100 — значит набор из 13 чисел в принципе возможен. Приведём пример ровно на 13 чисел с суммой 100: начальный набор 1, 2, …, 13 имеет сумму 91. Заменим 13 на 22, то есть увеличим сумму на 9. Новый набор {1, 2, …, 12, 22} состоит из 13 различных натуральных чисел, а его сумма равна 91 − 13 + 22 = 100.
Итак, 13 чисел возможно, а 14 — нет. Наибольшее количество равно 13.
Ответ на «в»: 13.
ОБЩИЙ ОТВЕТ. а) да; б) нет; в) 13.
ЛОГИКА И ЛОВУШКИ.
— Главная идея: минимальная сумма k различных натуральных чисел равна 1 + 2 + … + k = k(k+1)/2. Через неё доказывают и возможность, и невозможность.
— Для пункта «можно ли» достаточно одного примера; для пункта «нельзя» нужно строгое доказательство (здесь — оценка снизу).
— Чтобы из набора 1, 2, …, k получить нужную сумму S (когда S ≥ минимальной), увеличивают наибольшее число на недостающую величину S − k(k+1)/2 — новое число остаётся наибольшим и не совпадает с остальными.
— В пункте «в» обязательно показать ОБЕ части: что искомое количество достижимо (пример) и что большее невозможно (оценка). Только пример или только оценка — это неполное решение.
— Слово «различных» критично: для одинаковых чисел оценка k(k+1)/2 не работает. Внимательно читайте условие.
Инструменты для №19
Полезные суммы и оценки:
— сумма первых k натуральных: 1 + 2 + … + k = k(k+1)/2 (минимальная сумма k различных натуральных чисел);
— сумма арифметической прогрессии: S = (a₁ + aₙ)·n/2;
— сумма k различных натуральных не меньше k(k+1)/2 и сверху ничем не ограничена.
Оценка плюс пример — главная схема №19:
— чтобы доказать, что что-то НЕВОЗМОЖНО, строят оценку (неравенство), приводящую к противоречию;
— чтобы доказать, что что-то ВОЗМОЖНО или найти экстремум, приводят конкретный пример;
— в пункте про «наибольшее/наименьшее» нужны ОБА: оценка (больше нельзя) и пример (это достигается).
Делимость и остатки:
— если все числа дают одинаковый остаток при делении, сумма тоже имеет предсказуемый остаток;
— чётность: сумма меняет чётность в зависимости от числа нечётных слагаемых;
— признаки делимости на 2, 3, 5, 9 помогают быстро отбрасывать невозможные случаи.
Типичные формулировки и реакция:
— «может ли быть ровно n…» → ищем пример (да) или доказываем невозможность оценкой (нет);
— «какое наибольшее/наименьшее значение…» → оценка + пример, дающий это значение;
— «докажите, что …» → строгая цепочка рассуждений без перебора всех вариантов.
Совет по оформлению: разбивайте решение на пункты а), б), в) и в каждом чётко пишите вывод «да/нет/число». Эксперт оценивает пункты отдельно, и аккуратная структура помогает не потерять баллы.