Исследование функции на экстремум с помощью производной

АЛГОРИТМ (для функции на отрезке [a; b]): — Найдите производную f′(x). — Решите уравнение f′(x) = 0 и найдите критические точки, лежащие внутри отрезка. — Вычислите значения функции в этих точках и на концах отрезка a и b. — Наибольшее из полученных значений — это максимум функции на отрезке, наименьшее — минимум. Если функция исследуется на всей числовой прямой или на луче, экстремум определяют по смене знака производной: с + на − — точка максимума, с − на + — точка минимума. ОБРАЗЦОВЫЙ ПРИМЕР. Найдите наименьшее значение функции y = x² − 4x + 7 на отрезке [0; 3]. Решение. y′ = 2x − 4. Приравняем к нулю: 2x − 4 = 0, x = 2 — точка лежит внутри отрезка. Так как при переходе через x = 2 производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума. Вычислим: y(2) = 4 − 8 + 7 = 3. (Для контроля концы: y(0) = 7, y(3) = 9 − 12 + 7 = 4 — оба больше.) Наименьшее значение равно 3. Ответ: 3.