Упрощать логические выражения по законам алгебры логики и заменять импликацию/эквиваленцию базовыми операциями.
Законы алгебры логики и упрощение выражений
Ключевые законы и замены
Алгебра логики имеет ряд законов, позволяющих упрощать выражения без построения таблицы истинности:
• Законы де Моргана: ¬(A∧B) = ¬A∨¬B и ¬(A∨B) = ¬A∧¬B. Отрицание конъюнкции превращается в дизъюнкцию отрицаний, и наоборот.
• Закон поглощения: A∨(A∧B) = A и A∧(A∨B) = A. Более сложный член «поглощается» более простым.
• Распределительный закон: A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C) и A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C).
• Замена импликации: A→B = ¬A∨B. Это ключевая замена — импликацию сводим к отрицанию и дизъюнкции.
• Замена эквиваленции: A≡B = (A→B)∧(B→A) = (¬A∨B)∧(¬B∨A).
• Закон двойного отрицания: ¬(¬A) = A.
• Законы идемпотентности: A∧A = A и A∨A = A.
Образцовый разбор упрощения выражения ¬(A∨¬B)∧(A→B):
Шаг 1. Применяем де Моргана к ¬(A∨¬B): получаем ¬A∧¬(¬B) = ¬A∧B.
Шаг 2. Заменяем импликацию: A→B = ¬A∨B.
Шаг 3. Получаем (¬A∧B)∧(¬A∨B).
Шаг 4. Применяем закон поглощения (¬A∧B поглощается, так как ¬A∧B уже включает B, а вместе ∧(¬A∨B) — нет прямого поглощения; раскроем): (¬A∧B∧¬A)∨(¬A∧B∧B) = (¬A∧B)∨(¬A∧B) = ¬A∧B.
Итог: выражение упростилось до ¬A∧B.
Lesson notes
Ключевые законы и замены
Алгебра логики имеет ряд законов, позволяющих упрощать выражения без построения таблицы истинности:
• Законы де Моргана: ¬(A∧B) = ¬A∨¬B и ¬(A∨B) = ¬A∧¬B. Отрицание конъюнкции превращается в дизъюнкцию отрицаний, и наоборот.
• Закон поглощения: A∨(A∧B) = A и A∧(A∨B) = A. Более сложный член «поглощается» более простым.
• Распределительный закон: A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C) и A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C).
• Замена импликации: A→B = ¬A∨B. Это ключевая замена — импликацию сводим к отрицанию и дизъюнкции.
• Замена эквиваленции: A≡B = (A→B)∧(B→A) = (¬A∨B)∧(¬B∨A).
• Закон двойного отрицания: ¬(¬A) = A.
• Законы идемпотентности: A∧A = A и A∨A = A.
Образцовый разбор упрощения выражения ¬(A∨¬B)∧(A→B):
Шаг 1. Применяем де Моргана к ¬(A∨¬B): получаем ¬A∧¬(¬B) = ¬A∧B.
Шаг 2. Заменяем импликацию: A→B = ¬A∨B.
Шаг 3. Получаем (¬A∧B)∧(¬A∨B).
Шаг 4. Применяем закон поглощения (¬A∧B поглощается, так как ¬A∧B уже включает B, а вместе ∧(¬A∨B) — нет прямого поглощения; раскроем): (¬A∧B∧¬A)∨(¬A∧B∧B) = (¬A∧B)∨(¬A∧B) = ¬A∧B.
Итог: выражение упростилось до ¬A∧B.