Применять биномиальное распределение для подсчёта вероятности k успехов в n независимых испытаниях с вероятностью p.
Биномиальное распределение B(10; 0,5)
Вероятности числа орлов при 10 бросках монеты
При n = 10 независимых бросках монеты с p = 0,5 наиболее вероятны 4–6 орлов. Распределение симметрично вокруг μ = np = 5.
Lesson notes
Биномиальное распределение
Биномиальная схема возникает, когда: (1) проводится ровно n независимых испытаний; (2) каждое испытание имеет два исхода — «успех» и «неудача»; (3) вероятность успеха p одинакова в каждом испытании. Число успехов X в такой схеме имеет биномиальное распределение.
Формула: P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k), где C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) — число сочетаний (мы встречали их в юните 3). Здесь k — желаемое число успехов, p^k — вероятность k успехов подряд, (1−p)^(n−k) — вероятность оставшихся (n−k) неудач, а C(n,k) считает, сколькими способами можно расставить k успехов среди n испытаний.
Пример: подбрасываем монету 3 раза, p = 0,5. Какова вероятность ровно 2 орлов? k = 2, n = 3. C(3, 2) = 3. P(X = 2) = 3 · 0,5² · 0,5¹ = 3 · 0,25 · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375 = 3/8. То есть примерно 37,5% случаев дадут ровно 2 орла.
Пример 2: вероятность того, что посетитель сайта нажмёт кнопку, равна 0,3. Из 4 посетителей — какова вероятность ровно 1 нажатия? C(4,1) = 4, P = 4 · 0,3¹ · 0,7³ = 4 · 0,3 · 0,343 = 0,4116 ≈ 41,2%.