← ЕГЭ по математике — базовый уровень
Lesson
Простейшие показательные, логарифмические и иррациональные уравнения
Решать простейшие уравнения вида a^x = b, log_a(x) = b и √x = b.
Метод: переход к одинаковым основаниям и определения
Три простейших типа
Показательное. Уравнение a^x = a^k равносильно x = k. Приводим обе части к одному основанию и приравниваем показатели.
Пример: 2^x = 8 = 2³, значит x = 3.
Логарифмическое. По определению логарифма: log_a b = c означает a^c = b (при a > 0, a ≠ 1, b > 0).
Пример: log_2 x = 5 → x = 2^5 = 32.
Ещё: log_3 81 = ? Ищем степень: 3^4 = 81, значит ответ 4.
Иррациональное (с корнем). Чтобы решить √x = c (при c ≥ 0), возводим обе части в квадрат: x = c².
Пример: √(x + 7) = 4 → x + 7 = 16 → x = 9. Проверка обязательна: √(9+7)=√16=4 — верно.
Главное: не забывать про область определения (под корнем и под логарифмом — неотрицательные/положительные выражения).
Lesson notes
Три простейших типа
Показательное. Уравнение a^x = a^k равносильно x = k. Приводим обе части к одному основанию и приравниваем показатели.
Пример: 2^x = 8 = 2³, значит x = 3.
Логарифмическое. По определению логарифма: log_a b = c означает a^c = b (при a > 0, a ≠ 1, b > 0).
Пример: log_2 x = 5 → x = 2^5 = 32.
Ещё: log_3 81 = ? Ищем степень: 3^4 = 81, значит ответ 4.
Иррациональное (с корнем). Чтобы решить √x = c (при c ≥ 0), возводим обе части в квадрат: x = c².
Пример: √(x + 7) = 4 → x + 7 = 16 → x = 9. Проверка обязательна: √(9+7)=√16=4 — верно.
Главное: не забывать про область определения (под корнем и под логарифмом — неотрицательные/положительные выражения).