Ученик находит площади фигур и применяет свойства окружности и четырёхугольников.
Чертёж: вписанная окружность в треугольник
Вписанная окружность касается каждой стороны треугольника
Вписанная окружность треугольника касается всех трёх его сторон. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис углов треугольника. Знание этого свойства помогает решать задания части 1 по теме «Окружность» и часть задач части 2.
Lesson notes
Четырёхугольники, окружность и площади
Сумма углов любого четырёхугольника равна 360°. Параллелограмм: противоположные стороны и углы равны, диагонали делятся пополам. Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами, диагонали равны. Ромб — параллелограмм с равными сторонами, диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Квадрат сочетает свойства прямоугольника и ромба. Трапеция: одна пара параллельных сторон (основания); средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Формулы площадей: прямоугольник — S = ab; параллелограмм — S = ah (h — высота); ромб — S = d₁d₂/2 (диагонали); трапеция — S = (a+b)/2 · h; треугольник — S = ah/2; круг — S = πr². Длина окружности: C = 2πr.
Окружность: хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; диаметр — наибольшая хорда; касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. Центральный угол равен дуге, которую он стягивает (в градусах). Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Угол, вписанный в полукруг, прямой (90°).
Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника; описанная — проходит через все его вершины. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы. Задания 15–19 часто проверяют именно эти свойства — читай чертёж внимательно и выбирай нужную формулу.