Урок 2: Разброс — размах, дисперсия, стандартное отклонение, IQR

Считать размах, дисперсию и стандартное отклонение и находить квартили и IQR, понимая, что именно каждая мера говорит о разбросе.

Меры разброса — сравнение

Четыре меры разброса: формулы и свойства

Разные меры разброса измеряют одно и то же по-разному. Выбор зависит от задачи и наличия выбросов.

Таблица четырёх мер разброса: размах, дисперсия, стандартное отклонение, межквартильный размах. Для каждой указаны формула, единицы и устойчивость к выбросам — Сравнение мер разброса по ключевым характеристикам

Lesson notes

Как измерить разброс данных

Знать среднее — это половина дела. Не менее важно понимать, насколько сильно данные разбросаны вокруг центра. Две группы могут иметь одинаковое среднее, но совершенно разный разброс. Размах (range) — самая простая мера: максимальное значение минус минимальное. Для набора [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]: размах = 9 − 2 = 7. Размах легко считать, но он зависит только от двух крайних точек и очень чувствителен к выбросам. Дисперсия (variance) учитывает все точки. Алгоритм: 1) найти среднее; 2) от каждого значения отнять среднее и возвести в квадрат; 3) сложить все квадраты отклонений; 4) разделить на количество значений (здесь — на N, по всей совокупности). Для [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9] среднее = 5. Квадраты отклонений: (2−5)²=9, (4−5)²=1, (4−5)²=1, (4−5)²=1, (5−5)²=0, (5−5)²=0, (7−5)²=4, (9−5)²=16. Сумма = 32. Дисперсия = 32 / 8 = 4. Стандартное отклонение (SD) = √дисперсия = √4 = 2. SD выражается в тех же единицах, что и исходные данные — это его главное преимущество. Квартили и IQR. Квартиль Q1 — медиана нижней половины данных (25-й перцентиль), Q3 — медиана верхней половины (75-й перцентиль). Межквартильный размах IQR = Q3 − Q1 описывает разброс «средних» 50% данных. Для [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]: нижняя половина [2, 4, 4, 4] → Q1 = (4+4)/2 = 4; верхняя половина [5, 5, 7, 9] → Q3 = (5+7)/2 = 6; IQR = 6 − 4 = 2. IQR, как и медиана, устойчив к выбросам.