Урок 2: Центральная предельная теорема и стандартная ошибка

Объяснять центральную предельную теорему и считать стандартную ошибку среднего SE=SD/√n.

Стандартная ошибка убывает с ростом выборки

SE = SD / √n при SD = 10

Центральная предельная теорема гарантирует: чем больше выборка, тем точнее оценка среднего. SE убывает как корень из n.

Линейный график убывания стандартной ошибки при росте объёма выборки n. При n=10 SE равно 3,16; при n=25 SE=2; при n=50 SE=1,41; при n=100 SE=1; при n=400 SE=0,5. Кривая выпуклая и убывает к нулю — При SD = 10: удвоение точности требует учетверить объём выборки

Lesson notes

ЦПТ и стандартная ошибка среднего

Центральная предельная теорема (ЦПТ) — один из самых важных результатов статистики. Её суть: если брать повторные случайные выборки размера n из любого распределения (с конечным средним и дисперсией), то при достаточно большом n распределение выборочных средних будет приближаться к нормальному. Это работает даже тогда, когда исходные данные совсем не нормальны — например, имеют скос или несколько пиков. На практике «достаточно большим» обычно считается n ≥ 30. Стандартная ошибка среднего (SE) показывает, насколько сильно выборочное среднее отклоняется от истинного среднего совокупности. Формула: SE = SD / √n, где SD — стандартное отклонение совокупности (или его оценка по выборке), n — размер выборки. Пример: SD = 20, n = 100 → SE = 20 / √100 = 20 / 10 = 2. Если увеличить выборку до n = 400: SE = 20 / √400 = 20 / 20 = 1. Вывод: чем больше выборка, тем меньше стандартная ошибка и тем точнее оценка среднего. Увеличение выборки в 4 раза уменьшает SE вдвое — точность растёт медленно, как корень из n.