Урок 3: Нормальное распределение, правило 68–95–99,7 и z-оценка

Использовать нормальное распределение и правило 68–95–99,7 и считать z-оценку для стандартизации значения.

Колоколообразная кривая нормального распределения

Стандартное нормальное распределение N(0, 1)

Кривая нормального распределения симметрична относительно среднего (μ = 0), а площадь под ней равна 1. Правило 68–95–99,7 описывает доли площади.

Плавная симметричная колоколообразная кривая. По оси X от -4 до 4, пик на x=0. Кривая убывает к нулю по краям — f(x) = exp(−x²/2) / √(2π) — функция плотности стандартного нормального распределения

Lesson notes

Нормальное распределение и z-оценка

Нормальное (гауссово) распределение — самое важное в статистике. Его график — симметричный «колокол». Множество реальных данных приближённо нормальны: рост людей, ошибки измерений, баллы на тестах. Нормальное распределение полностью задаётся двумя параметрами: μ (среднее) и σ (стандартное отклонение). Правило 68–95–99,7 говорит, какая доля наблюдений попадает в интервалы вокруг среднего: примерно 68% значений лежат в пределах 1σ от μ (то есть в интервале [μ−σ; μ+σ]); примерно 95% — в пределах 2σ; примерно 99,7% — в пределах 3σ. Это мощный инструмент: не нужно считать интегралы, чтобы оценить долю данных в интервале. Пример: IQ-тесты стандартизованы так, что μ = 100 и σ = 15. Тогда: 68% людей имеют IQ от 85 до 115 (100 ± 15); 95% — от 70 до 130 (100 ± 30); 99,7% — от 55 до 145. Z-оценка (z-score) позволяет стандартизировать любое значение: z = (x − μ) / σ. Она показывает, на сколько стандартных отклонений значение x отстоит от среднего. Например, x = 130, μ = 100, σ = 15: z = (130 − 100) / 15 = 30 / 15 = 2. Значение 130 на 2 стандартных отклонения выше среднего. По правилу 95%, значения с |z| > 2 встречаются лишь у ~5% людей.